\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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%opening
\title{Optimisation du coût de production d'électricité en France}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Dans le cadre du cours de Flot et Combinatoire suivi conjointement par des étudiants de MIMSE et de l'ENSEIRB,
nous avons dû réaliser une étude d'un problème libre. Notre choix s'est porté sur l'optimisation du réseau
électrique français, étant donné sa médiatisation et son intérêt.
\end{abstract}

\section{Modélisation du problème}

\subsection{Données}

Soit $i$ $\in [|$1,$n|]$ un site de production du réseau électrique français.\\
Soit $j$ $\in [|$1,$l|]$ un client (regroupement de clients) alimenté par le réseau.\\
\\
On a pour chaque site de production $i$ le couple ($P_nmin(i),P_nmax(i)$) correspondant
à la puissance minimale et à la puissance maximale du site.\\
De même pour chaque client $j$ on a $B_j$ le besoin en MWh de ce client.
On pose $C_i$ le coût de production d'un MWh par le site $i$.\\
Enfin pour repérer chaque site dans l'espace, on notera $(U_i, V_i)$ les coordonnées du site $i$,
en considérent la France comme planaire.\\
De ce fait nous nous doterons de $d_{ij}$ la distance du site $i$ au client $j$.\\
\\
Ces données sont disponibles pour la plupart sur internet. Celles qui ne sont pas sûres seront approximées
, le but de ce projet n'étant en aucun cas de réaliser une optimisation exacte pour EDF, mais plutôt de
mettre en pratique le cours suivi.\\
On prendra :\\
\[U = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  400KV & \quad \mbox{si $i$ et $j$ ne sont pas dans la même région}\\
  90KV & \quad \mbox{sinon}\\ \end{array} \right. \]
$\rho = 3.10^{-8}$\\
$s = 500$ $mm^2$\\
$I = 400$ $A$\\

\subsection{Objectif et contraintes}

On notera $x_{ij}$ la quantité d'énergie en MWh produite par le site $i$ destinée au client $j$.\\

\begin{center}
 \textbf{Min} $ \displaystyle { \sum_{i}^{}} {\sum_{j}} C_ix_{ij}$, avec $x_{ij}$ l'apport effectif en MWh
au client $j$.
\end{center}
\begin{flushleft}
 
\textbf{ct} $ \forall i \in [|$1$,n|]$ $P_nmin(i) \leqslant \displaystyle { \sum_{j}}x_{ij} \leqslant P_nmax(i)$ ou
$\displaystyle { \sum_{j}^{}} x_{ij} = 0$.

 $\forall j\in[|1,l|]$ $\displaystyle { \sum_{i}} \alpha_{ij}x_{ij} \geqslant B_j$, avec $\alpha_{ij}$ le coefficient 
de perte énergétique entre le site $i$ et le client $j$.
On a : $\alpha_{ij} = 1 - \frac{R_{ij}I}{U}$ et $R_{ij} = \frac{\rho d_{ij}}{s}$.
\end{flushleft}

\section{Remarques}

\subsection{Hypothèses}

On supposera qu'un site $i$ peut approvisionner n'importe quel client $j$ en France. De plus les coûts
d'installation et d'entretien des lignes électriques n'ont pas été pris en compte. Cependant si une
approximation plus fine devait être réalisée ou s'il venait le besoin de borner plus le problème, il
serait possible de prendre en compte ces contraintes.

\subsection{Problème dual}

Le dual de ce problème est bien connu de tous car il s'agit en effet d'un problème de sac à dos,
pour lequel on a des heuristiques qui permettront de résoudre notre problème ou du moins d'en trouver
une minoration.

\section{Résolution en programmation linéaire}

Nous avons utilisé le Cplex d'IBM pour résoudre ce problème, ce dernier n'étant plus disponible à l'ENSEIRB,
 nous avons du nous rendre au Cremi pour l'utiliser. La résolution linéaire du problème nous donne :
\textbf{Min} $ \displaystyle { \sum_{i}^{}} {\sum_{j}} C_ix_{ij} = 5614500,0000$.
%Si prêt à temps donner la matrice des x_ij !

\end{document}
